概率计算器：排列、组合与累计概率使用指南

这个计算器能做什么

计算排列 P(n,r)、组合 C(n,r)，以及二项和泊松分布的点概率与累计尾部。在分布模式中选择恰好 k、至多 k 或至少 k；页面还显示期望、方差、标准差和变异系数。

什么时候适合用它

适合已知模型假设下的离散事件计数与概率练习。正态分布相关的 z 值可用标准分数；已知总体标准差的双尾均值检验可用P 值计算器。条件概率和贝叶斯暂不在本页范围内。

输入项说明

排列组合的 n 为 0–170 整数，r 为 0–n 整数；二项的 n 为 0–10000 整数，p 为 0–1 的有限小数；k 是 0–100000 整数。泊松 λ 为 0–10000 的有限数。n 表示固定试验次数、p 表示每次成功概率、λ 表示所选固定区间的平均次数。二项中 k>n 是有效边界：恰好和至少概率为 0，至多为 1。

计算逻辑说明

二项点概率为 C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)，期望 np、方差 np(1−p)。泊松点概率为 e^−λ·λ^k/k!，期望和方差均为 λ。至多 k 累加 0 到 k，至少 k 累加 k 及以上；两者都包含 k。P(X≥k) = 1−P(X≤k−1)，不能用 1−P(X≤k)。实现使用对数概率和补偿求和，分别直接求两侧尾部，避免通过接近 1 的数相减而丢失极小概率。

示例

二项 n=10、p=0.5、k=2：恰好概率 45/1024 = 0.0439453125，至多概率 56/1024 = 0.0546875，至少概率 1013/1024 = 0.9892578125。泊松 λ=3、k=2：恰好约 0.22404181，至多约 0.42319008，至少约 0.80085173。至多与至少直接相加并不一定为 1，因为边界 k 被重复包含。

如何看懂结果

概率以 0–1 和百分比两种表达，极小数使用科学计数法。变异系数 = 标准差/期望；期望为 0 时本页显示 0 作为展示约定，数学上的相对变异并未定义。排列组合下的“辅助概率”只是数量的倒数，不代表任意现实事件的成功率。

常见错误

二项试验应独立且每次 p 相同。泊松需使用一致的时间或空间区间及稳定平均率，不可把一天的 λ 直接放进一小时场景。不要把“恰好”结果用作“至少”的答案。

FAQ

至少 k 是否包含 k？

包含。P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1)，不能直接用 1 − P(X ≤ k)。

二项分布有哪些假设？

试验次数固定、试验独立、每次成功概率相同；输入不满足这些假设时解释无效。

支持贝叶斯或条件概率吗？

目前不支持。此页提供排列组合、二项和泊松的点概率与累计尾部。

说明与限制

结果使用 JavaScript 浮点数；并非任意精度，极小概率可能下溢到 0。泊松上尾从所选边界或分布众数开始按概率项递推，并按相对误差边界停止；不会因为 k 远离平均值就直接把可表示的概率置零。排列组合数量可能超过安全整数，显示的是近似数量。没有贝叶斯、条件概率、模拟、分布拟合或正式推断。输入通过网址保留，原有点概率链接默认恢复为“恰好”。