概率计算器使用指南

这个计算器能做什么

概率计算器页面覆盖四种常见但不能混用的任务：排列数、组合数、二项分布点概率和泊松分布点概率。它把“有多少种排法/选法”和“某个次数恰好发生的概率”放在同一个模式选择器里，但不会把四种公式混成一个模糊的“概率结果”。

如果你在找 nPr、nCr、二项分布 P(X=k) 或泊松分布 P(X=k)，可以直接在页面选择对应模式。二项和泊松模式还会显示期望、方差、标准差与变异系数，方便比较分布中心和相对波动。需要 P 值时可使用 P 值计算器，需要标准化分数时可使用 Z 分数计算器，普通数值表达式则可交给数学表达式计算器。

什么时候适合用它

• 题目问“从 n 个不同元素中取 r 个，顺序是否重要”以及对应的排列数或组合数。
• 题目明确是 n 次相互独立、每次成功概率为 p 的二项试验，并要求恰好成功 k 次。
• 题目把事件次数建模为单位区间平均发生 λ 次的泊松分布，并要求恰好发生 k 次。
• 你想快速核对期望、方差、标准差和变异系数，而不是只看一个小数。
• 你已经确定模型，只需要一个可复核的数值结果。

如果你要算条件概率、贝叶斯公式、两个事件的交并补、正态分布、几何分布、超几何分布或“至少/至多”累计概率，请不要把本页当作通用概率求解器。

输入项说明

排列与组合：n、r

这两个模式都要求 n 和 r 为非负整数，并且 r ≤ n。

• 排列 nPr：顺序不同算不同结果，例如给三个人安排一、二、三名。
• 组合 nCr：只看选中了谁，顺序不影响结果，例如从一组人中选委员会成员。

页面中的辅助 probability 分别显示 1 ÷ nPr 或 1 ÷ nCr。它只能作为“每个计数结果的倒数”来阅读，不能替代由题目样本空间决定的事件概率。

二项分布：n、k、p

• n：独立试验次数，非负整数。
• k：成功次数，非负整数且 k ≤ n。
• p：每次试验成功的概率，满足 0 ≤ p ≤ 1。

二项分布适合每次试验只有成功/失败两种互补结果，且试验次数固定、成功概率保持不变的场景。页面计算的是恰好 k 次成功。

泊松分布：λ、k

• λ：一个时间或空间区间内的平均发生次数，必须大于 0。
• k：该区间内恰好发生的次数，非负整数。

λ 不是单位换算出来的数，也不是“某一次事件的概率”；它是模型给定的平均率。页面不会替你判断现实数据是否满足泊松分布假设。

计算逻辑说明

排列

排列数为：

P(n,r) = n! / (n-r)!

组合

组合数为：

C(n,r) = n! / [r!(n-r)!]

二项分布点概率

令 X 表示 n 次试验中的成功次数，则：

P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

同时，页面显示：

• 期望：E(X) = n × p
• 方差：Var(X) = n × p × (1-p)
• 标准差：√Var(X)
• 变异系数：标准差 ÷ 期望（期望为 0 时页面显示 0）

泊松分布点概率

P(X=k) = (λ^k × e^-λ) / k!

并显示：

• 期望：E(X) = λ
• 方差：Var(X) = λ
• 标准差：√λ
• 变异系数：1 ÷ √λ

示例

示例一：排列与组合的区别

输入 n=5、r=3：

• 排列：5P3 = 5! / 2! = 60，辅助 probability 为 1/60 ≈ 0.01666667，即约 1.666667%。
• 组合：5C3 = 5! / (3!×2!) = 10，辅助 probability 为 1/10 = 0.1，即 10%。

两种模式的数量不同，原因是排列考虑顺序，组合不考虑顺序；辅助 probability 只是这两个数量的倒数。

示例二：二项分布恰好三次成功

输入 n=10、k=3、p=0.5：

P(X=3) = C(10,3) × 0.5^3 × 0.5^7 = 0.1171875

页面还会显示：

• 期望：10×0.5 = 5
• 方差：10×0.5×0.5 = 2.5
• 标准差：√2.5 ≈ 1.58113883
• 变异系数：1.58113883 ÷ 5 ≈ 0.31622777

这里的 0.1171875 只回答“恰好三次”，不包含“至少三次”或“至多三次”的其他结果。

示例三：泊松分布恰好两次发生

输入 λ=4、k=2：

P(X=2) = (4^2 × e^-4) / 2! ≈ 0.146525

因为泊松分布的期望和方差都等于 λ，页面会显示期望 4、方差 4、标准差 2 和变异系数 0.5。

如何看懂结果

• 排列和组合的主结果是整数计数，不是现实世界中的概率。
• 二项和泊松的主结果是 0 到 1 之间的点概率，卡片同时显示百分比形式。
• 期望是长期重复试验或区间计数的平均中心，不保证某次结果等于它。
• 方差以平方单位表达离散程度；标准差与原变量使用相同单位，更容易直接比较。
• 变异系数是标准差相对于期望的比例，适合比较不同平均水平下的相对波动。
• 页面最多保留 8 位小数，并对极大或极小数字使用科学记数法；这不是任意精度的符号计算。

常见错误

• 把排列和组合混用：先问自己“顺序是否重要”。
• 把二项分布用在多于两种结果、成功概率变化或试验不独立的场景。
• 把泊松的 λ 当作单次概率；它是单位区间平均次数。
• 把 P(X=k) 误读为累计的“至少/至多 k 次”。
• 输入负数或小数形式的 n、r、k，或者输入 r/k > n。
• 期待本页提供条件概率、贝叶斯、正态、t 检验、置信区间或完整分布表。
• 使用特别大的阶乘参数而忽略 JavaScript 数值溢出和浮点近似限制。

FAQ

nPr 和 nCr 的区别是什么？

nPr 计算排列，顺序不同视为不同结果；nCr 计算组合，只关心选中的元素。相同 n、r 且 r>1 时，排列数通常大于组合数。

页面能计算“至少 k 次”吗？

不能。二项和泊松模式只计算恰好 k 次的点概率；至少、至多或区间概率需要把多个点概率累加，或使用专门的累计分布工具。

p 可以直接输入百分数吗？

请输入 0 到 1 之间的小数，例如 50% 要输入 0.5，而不是 50。页面会同时显示小数和百分比结果。

λ 可以等于 0 吗？

当前页面要求 λ 大于 0。若平均率为 0，泊松分布会退化为特殊边界情形，不在本组件的输入范围内。

为什么排列/组合会出现 probability 字段？

这是页面为了提供直观辅助而显示的计数倒数。它没有使用你的具体样本空间、等可能假设或事件定义，所以正式解题时应以题目定义的概率为准。

说明与限制

本工具适合学习、作业验算和中等规模的离散概率试算。它使用 JavaScript Number 和直接阶乘公式，阶乘较大时可能出现溢出、无穷大或浮点误差；页面显示的是格式化后的数值近似。

页面只提供四种模式：排列、组合、二项分布点概率和泊松分布点概率。它不提供自由文本概率建模、条件概率、贝叶斯、正态/几何/超几何分布、累计分布、随机模拟、置信区间或统计推断结论。若模型假设不确定，请先确认题目条件，再决定是否使用结果。